Posibilidades de combinación de una baraja

Alguna vez puede habernos surgido la duda de cuantas combinaciones son posibles al mezclar una baraja, la respuesta no es nada difícil, pues se trata de calcular la factorial de 52, (el nº de naipes que forman la baraja). No obstante, esta aparentemente inocente duda esconde una respuesta asombrosa.
El cálculo de la factorial, (usada por primera vez por Christian Kramp en 1803), se da en áreas de las matemáticas, especialmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental, la factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos. El factorial para todo número entero positivo n, (el factorial de n o n factorial), se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. Cuya fórmula es:  n!=1X2X3X4X5.....X(n-1)Xn Para comprender de un modo más gráfico lo que es una factorial debemos imaginarnos cada una de las posibilidades de que un naipe ocupe una determinada posición como un conjunto de casillas a ocupar.

¿Cuantas posibilidades existen de que una determinada carta ocupe la primera casilla? La respuesta es 52, tantas como casillas existen, ya que todas están libres, cualquiera de las 52 cartas que componen la baraja podría ocupar esta casilla. Y para la segunda casilla, ¿cuantas posibilidades existen de que sea ocupada por una segunda carta? Como una de ellas ya se encuentra ocupada la respuesta es 51.

Para la tercera casilla existen 50 posibilidades y así sucesivamente a medida que éstas se van ocupando. Si parasemos en este punto y nos hiciéramos la pregunta de cuántas combinaciones distintas existen de dar tres cartas en orden, la respuesta se obtiene multiplicando las posibilidades existentes para la primera casilla por las posibilidades existentes para la segunda casilla y por las posibilidades existentes para la tercera casilla, es decir 52x51x50=132600

Si deseamos saber cuantas combinaciones se pueden hacer con 4 objetos, (cuatro cartas por ejemplo), es decir la factorial de 4, debemos hacer el siguiente cálculo: 1x2x3x4=24.
A la pregunta de: ¿Cuantas combinaciones posibles pueden obtenerse al mezclar un mazo de cartas? la respuesta sería aplicar la fórmula de la factorial:  1x2x3x4x5x6x......x49x50x51x52
Con una baraja de cartas se puede lograr una cifra tan asombrosa de combinaciones que es incluso millones de veces más grande que el número de estrellas observables en el universo. De hecho el resultado es un número tan inmenso que puede decirse  con seguridad que en toda la historia desde que existen los naipes, no se ha  alcanzado siquiera la mil millonésima parte de combinaciones posibles en un mazo de cartas.
El número exacto de combinaciones posibles de un mazo de cartas es de:
80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000
Las 68 cifras de que consta este increíble número debe obtenerse a través de ordenador y software específico, ya que una calculadora normal sólo nos daría diez cifras como resultado. Incluso la calculadora de Windows sólo nos mostraría un resultado de 32 dígitos. Una calculadora científica colocada en su función factorial nos devolverá el resultado en notación científica, siendo éste redondeado como: 8,1 X 10⁶⁷
Comparaciones curiosas:

• Si repartiésemos a cada habitante de la tierra, (siete mil millones), un millón de euros en céntimos obtendríamos: Cada millón equivale a 100.000.000 de céntimos, multiplicando por los 7000.000.000 de habitantes sería: 100.000.000 X 7000.000.000 = 700.000.000.000.000.000 céntimos, lo que en notación científica equivale a: 7 x 10¹⁷ sin embargo el número obtenido todavía sería aproximadamente 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 más pequeño que el número de combinaciones posibles al mezclar una baraja.
• Si cada uno de los habitantes de la tierra, (siete mil millones aproximadamente), dispusiera de una baraja y fueran capaces cada uno de ellos de mezclar mil veces por segundo durante los próximos diez millones de años, ni siquiera se alcanzaría una porción pequeña del total en que pueden disponerse los naipes en cada mezcla.
• ¿Cuántas veces han sido mezcladas las cartas desde que existen? Aunque ésta es una pregunta imposible de contestar con exactitud si que podemos efectuar un cálculo aproximado. Suponiendo que la baraja lleva entre nosotros 700 años aproximadamente y que existen siete millones de personas en el mundo. Podemos calcular lo siguiente: imaginemos que cada uno de los habitantes de la tierra ha estado mezclando una baraja cada segundo durante los últimos 700 años, lógicamente el resultado sería mucho mayor que la pregunta que buscamos, sin embargo: 700 años son aproximadamente 255675 días, (sumando cuatro días por años bisiestos cada siglo), lo que significa 255675x 86400= 22090320000 segundos. Es decir que si 7000.000.000 de personas hubieran estando mezclando una baraja cada segundo: 7000.000.000x22090320000= 154632240000000000000 o lo que es lo mismo redondeando en notación científica 1,546x10²⁰, es decir las veces o número de combinaciones que han sido mezcladas las cartas desde que existen. Una porción despreciable si tenemos en cuenta el número total de combinaciones posibles. A efectos prácticos, esto significa que cuando alguien mezcla una baraja se obtiene una reordenación de las cartas nunca antes vista por nadie, y que posiblemente nunca volverá a repetirse.
• ¿Al mezclar una baraja el orden conseguido es único en toda la historia de la humanidad? Si las combinaciones posibles totales son 8,1 X 10⁶⁷ y las veces mezcladas en los últimos 700 años son menos de 1,546x10²⁰, esto significa que las posibilidades de que alguna vez se haya obtenido el mismo orden es de 1 entre 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 es decir 1x10⁴⁷

A la derecha puede verse el orden conseguido al mezclar una baraja mediante ocho riffle shuffle consecutivas, es decir con una randomización completa, ya que para obtener una mezcla totalmente aleatoria deben seguirse los consejos dados por el profesor de matemáticas Persis Diaconis. Las enormes cifras obtenidas en cuánto a posibilidades de combinación de los naipes hacen de la baraja un instrumento útil en estudios matemáticos y análisis probabilístico, la alta randomización que puede obtenerse la hacen de igual modo útil en campos tan dispares como el de la criptología habiéndose empleado la baraja como instrumento para implementar un algoritmo criptográfico llamado Solitaire.