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Principio o cuenta de Kruskal

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martin david kruskalEste principio fue descubierto por el matemático Martin David Kruskal, aunque se popularizó a partir de que Martin Gardner la publicase en "Games magazine".
En Junio de 1975 aparece por primera vez publicado por Martin Gardner en la revista "Pallbearers", atribuyendo su descubrimiento a Kruskal, aunque algo más tarde, en el número de Diciembre de 1976 de la revista "The Linking Ring", Edward Marlo realiza un estudio a fondo de este principio, negando que fuera kruskal su descubridor, ya que el principio fue usado con anterioridad en una rutina puesta a la venta por Ireland, llamada "The perfect stop trick". No obstante, tal y como señaló M. Hudson, lo que Kruskal puso en evidencia, no fue la forma de contar cartas, que efectivamente ya existía, si no el hecho de que sea cual sea el número pequeño inicial con el que comenzamos la cuenta, siempre llegaremos a la misma carta.

Consiste en que partiendo de un número pequeño inicial, (entre uno y diez), elegido por el espectador, contamos cara arriba tantas cartas como indica dicho número, el valor de la carta a la que llegamos, sirve para seguir contando hasta encontrar otra, asi sucesivamente. Inpendientemente de cual sea el número pequeño inicialmente elegido, llegaremos siempre a la misma carta. Evidentemente, en cartomagia esta carta a la que llegamos coincidirá con la elegida por el espectador.

Técnica:

  1. Se parte con la baraja libremente mezclada por el espectador en posición de dar en la mano izquierda.
  2. Se pide a èste que elija un número pequeño, entre 1 y 10 y que de cartas boca arriba sobre la mesa desde la parte superior de la baraja, contándolas una a una hasta llegar al número elegido, deteniéndose momentáneamente en ese número.
  3. El valor numérico de esta última carta boca arriba determinará en que carta se volverá a parar el espectador. A las figuras J, Q, K, les podemos dar el valor numérico representado por sus letras, es decir J-O-T-A =4  , D-A-M-A =4, R-E-Y = 3. Sería posible darles también el valor 10 a todas ellas, pero es importante tener en cuenta que en el principio de Kruskal, los números altos diminuyen las probabilidades de que se cumpla con éxito.
  4. El espectador da cara arriba sobre las demás, tantas cartas como represente el valor numérico de esta última carta cara arriba, con lo que llegamos de nuevo a otra nueva carta.
  5. El espectador observa el valor numérico de esta nueva carta y sigue contando cartas boca arriba, tantas como ha indicado la última carta boca arriba. Es decir, el valor numérico de cada carta le lleva a la siguiente.
  6. Se sigue así, sucesivamente de una carta a la otra, indicada por el valor numérico de la precedente, hasta llegar a un punto en que la carta boca arriba es mayor que el número de cartas que tiene en la mano izquierda.
  7. Esta última carta boca arriba, cuyo valor no puede materializarse en una nueva cuenta, por faltas de cartas en la mano izquierda, será la carta elegida mentalmente por el espectador.
  8. A pesar de haber ya elegido la carta, el espectador sigue dando cartas hasta acabar la baraja para evitar dar pistas al mago.

Aunque aparentemente la elección se debe al azar, se hubiese llegado a la misma carta independientemente del número inicial elegido, este es el verdadero principio de Kruskal. Puede ponerse de evidencia recogiendo la baraja y sin mezclarla volver a comenzar la cuenta con un número distinto, comprobando que llegaremos igualmente a la misma carta, o al menos las probabilidades matemáticas de conseguirlo son muy elevadas.

En este principio se basa el mago para saber que carta ha elegido el espectador, ya que cuando éste inicia su cuenta, el mago se fija en alguna de las primeras cartas que sea de valor bajo, ya que elegir como primera carta clave un valor bajo aumenta ligeramente la probabilidad de que ambas cadenas coincidan en algún punto. Esa carta será la primera carta clave del mago, y a partir de ella hará mentalmente el mismo proceso que el espectador a medida que éste reparta cartas. En más de un 83 % de las veces, la última carta clave en la cadena del mago será la misma que la última carta clave del espectador. Es decir que las dos cadenas iniciadas en puntos distintos llegaran a una misma carta clave, a partir de lo cual ambas cadenas serán idénticas, garantizándose por tanto que la última carta clave, (la elegida por el espectador), también lo sea.

Una vez conocida por el mago la carta del espectador puede formular una predicción o sacar ésta carta y colocarla cara abajo para posteriormente revelarla.


NOTAS:

1) El valor dado a las figuras es un factor clave en la probabilidad de que se cumpla esta cuenta. Cuanto menor sea este valor tendremos más probabilidades de acertar.
Por ejemplo para una baraja de 52 cartas y empezando a contar desde una de las diez primeras cartas:

  • J=11, Q=12, K=13 La probabilidad de que se cumpla la cuenta es del 70 %.
  • J, Q, K = 10 La probabilidad de que se cumpla la cuenta es del 74 %.
  • J, Q, K =5  La probabilidad de que se cumpla la cuenta es del 85 %.
  • J, Q, K =1  La probabilidad de que se cumpla la cuenta es prácticamente del 100 %.

2) Otra versión consiste en deletrear cada carta en lugar de elegir su valor numérico para contar, con este método la probabilidad de coincidencia es del 95 %.
3) También influye el número de naipes del paquete con el que se realiza el juego, cuántas más cartas contenga mayor será la probabilidad de coincidencia.

Se trata de un principio probabilístico ralacionado con las cadenas de Markov, es decir no funciona siempre, pero con alguna pequeña variación tal y como se ve más arriba podemos llegar a una altísima probabilidad de coincidiencia e incluso hacer que funcione siempre si utilizamos una baraja previamente preparada o mnemónica como puede verse en el juego de Juan Tamariz, "Predicción a lo Kruskal", página 93 de su libro "Sinfonía en mnemónica mayor".

Referencias:

Karl Fulves y Martin Gardner, "The Kruskal Principle", publicado en The Pallbearers Review, Junio de 1975.

Martin Gardner, "Mathematical Games", publicado en la revista Scientific American 238 año 1978, Nº 2, Febrero, páginas 19-32.

Martin Gardner, "From Penrose Tiles to Trapdoor Cipher", W. H. Freeman Co., Nueva York, 1988, Capítulo 19.

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Principio de Kraus.

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